Unidad 2
Graficación 2D
2.1
Trazo de líneas rectas
Línea Recta
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta,
se extienden en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene
infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de
línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión
continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee
principio ni fin.
Algoritmo de Bresenham para trazar líneas
El
algoritmo de Bresenham es un algoritmo creado para dibujar rectas en los
dispositivos de gráficos rasterizados, como por ejemplo un monitor de
ordenador, que determina qué pixeles se rellenarán, en función de la
inclinación del ángulo de la recta a dibujar.
Es un
algoritmo preciso para la generación de líneas de rastreo que convierte
mediante rastreo las líneas al utilizar solo cálculos incrementales con enteros
que se pueden adaptar para desplegar circunferencias y curvas. Los ejes
verticales muestran las posiciones de rastreo y los ejes horizontales
identifican columnas de pixel.
Si
0<|m|<1
Se
capturan los extremos de la línea y se almacena el extremo izquierdo en
(x0,y0).
Se carga
(x0,y0) en el bufer de estructura (se traza el primer punto)
Se
calculan las constantes Δx,Δy, 2Δy y 2Δy-Δx y se obtiene el valor inicial para
el parámetro de decisión p0=2Δy-Δx.
Para j=0
mientras j<Δx
En cada
xk a lo largo de la línea, que inicia en k=0 se efectúa la prueba siguiente:
Si
pk<0
Trazamos
(xk+1,yk).
Asignamos
pk+1= pk+2Δy.
Sino
Trazamos
(xk+1,yk+1).
Asignamos
pk+1= pk+2Δy-2Δx.
Fin Para Si
|m|>1
Recorremos
la dirección en pasos unitarios y calculamos los valores sucesivos de x
que se aproximen más a la trayectoria de la línea.2.2 Representación y trazo de polígonos
Polígono
Un polígono es una figura bidimensional compuesta
por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una
región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que
se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área.
Analizador Diferencial Digital
Una implementación de hardware o software de un
Analizador Diferencial Digital (DDA) se usa para la interpolación lineal de
variables sobre un intervalo entre un punto de comienzo y un punto de fin. Los
DDAs se usan para rastreo de lineas, triángulos y polígonos. En la
implementación mas simple del algoritmo DDA interpola valores en intervalo
[(xinicio, yinicio), (xfin, yfin)] por calculo para cada xi las ecuaciones xi =
xi−1+1, yi = yi−1 + Δy/Δx, donde Δx = xfin − xinicio y Δy = yfin − yinicio.
2.3 Transformaciones bidimensionales
Las
transformaciones nos permiten alterar de una forma uniforme toda la imagen. Es
un hecho que a veces es más fácil modificar toda la imagen que una porción de
ella. Esto supone un complemento muy útil para las técnicas de dibujo manual,
donde es normalmente más fácil modificar una pequeña porción del dibujo que
crear un dibujo completamente nuevo.
2.3.1. Traslación
Se
pueden encontrar varias definiciones de traslación. Una traslación es el
movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra.
Movimiento de una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar". La figura sigue viéndose exactamente igual, solo que en un lugar diferente.
Se aplica una transformación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra.
Movimiento de una figura, sin rotarla ni voltearla. "Deslizar". La figura sigue viéndose exactamente igual, solo que en un lugar diferente.
Se aplica una transformación en un objeto para cambiar su posición a lo largo de la trayectoria de una línea recta de una dirección de coordenadas a otra.
Para
rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad
de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de
variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre
todos los puntos.
Otra forma de conseguir la rotación, respecto a un punto de movimiento, es fijar los diferentes puntos respecto a un punto de fijación siendo los puntos que forman la figura, relativos a este.
Otra forma de conseguir la rotación, respecto a un punto de movimiento, es fijar los diferentes puntos respecto a un punto de fijación siendo los puntos que forman la figura, relativos a este.
La
fórmula a aplicar en este último supuesto, sería la siguiente:
X' = X * Cos (ángulo) - Y * Sin (ángulo)
Y' = Y * Cos (ángulo) - X * Sin (ángulo)
X' = X * Cos (ángulo) - Y * Sin (ángulo)
Y' = Y * Cos (ángulo) - X * Sin (ángulo)
Una
transformación de escalación altera el tamaño de un objeto. Se puede realizar
esta operación para polígonos al multiplicar los valores de coordenadas (x, y)
de cada vértice por los factores de escalación s x y s y para producir
las coordenadas transformadas (x’, y’). Permite cambiar el tamaño de un objeto
expandiéndolo o contrayéndolo en sus dimensiones.
2.4 Representación matricial
En las aplicaciones de diseño y de
creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para
ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. En este tema
consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de la matriz
de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de
transformación. Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en
la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’
representadas como columnas de vector.
Con las representaciones de matriz
podemos establecer una matriz para cualquier secuencia de transformaciones como
una matriz de transformación compuesta al calcular el producto de la matriz de
las transformaciones individuales. La creación de productos de matrices de
transformación a menudo se conoce como concatenación o composición de matrices.
Traslaciones
Se aplican
dos vectores de traslación sucesivos (tx1, t y1) y (tx2 , t y2 ) en
la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, la
localización transformada final P’ se calcula como: P'=T(t
x2,t2)·T(tx1,ty1)·P}{=T(tx2, 2)·T(t x1,t y1)}{·P
Donde se representan P y P’ como
vectores de columna de coordenadas homogéneas. Podemos verificar este resultado
al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas.
Asimismo, la matriz de transformación compuesta para esta secuencia de
transformaciones.
Rotaciones
Dos
rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición
transformada P'=R (θ2)·R(θ1){·P}=R(θ2){· (θ1)}·P
Al multiplicar las dos matrices de
rotación, podemos verificar que dos rotaciones sucesivas son aditivas.
Escalamiento
La
siguiente figura ilustra una secuencia de transformación para producir
escalación con respecto de una posición fija seleccionada (xf,f) al utilizar
una función de escalación que sólo puede escalar en relación con el origen de
las coordenadas.
La multiplicación de matrices es
asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B y C, el producto matricial
A·B·C se puede llevar a cabo al multiplicar primero a por B o multiplicar
primero B por C:2.35.A · BC=( A· B)·C =A·( B·C)
Por tanto, podemos evaluar los
productos matriciales al utilizar una agrupación asociativa ya sea de izquierda
a derecha o de derecha a izquierda. Por otro lado, los productos de la
transformación tal vez no sean conmutativos. En general el producto matricial
A·B no es igual que B·A. Esto significa queremos trasladar y girar un objeto,
debemos tener cuidado sobre el sentido en que se evalúa la matriz compuesta.
2.5 Ventana y puerto de visión
Un área rectangular que se especifica
en coordenadas mundiales se denomina ventana. El área rectangular en el
dispositivo de despliegue en el cual se coloca la ventana se llama puerta de
visión. La figura ilustra el trazo o planimetría de la selección de una imagen
que queda dentro del área de ventana en una puerta de visión designada. Esta
planimetría se llama transformación de la visión o bien transformación de normalización.
Los
límites de la ventana se especifican en coordenadas mundiales. Las coordenadas
de dispositivo normalizadas se usan con mayor frecuencia para la especificación
de la puerta visión, aunque las coordenadas del dispositivo pueden emplearse si
hay solamente un dispositivo de salida en el sistemas. Cuando se usan
coordenadas de dispositivo normalizadas, el programador considera el
dispositivo de salida como aquel que tiene valores coordenados dentro del
intervalo de 0 a 1.
Las
posiciones de coordenadas que se expresan en coordenadas de dispositivo
normalizadas deben convertirse a las coordenadas del dispositivo antes de que
un dispositivo de salida específico haga el despliegue. Una rutina específica
del dispositivo se incluye en paquetes de gráficas con este fin. La ventaja de
emplear coordenadas de dispositivo normalizadas es que el paquete de gráficas
es considerablemente independiente del dispositivo. Pueden utilizarse distintos
dispositivos de salida ofreciendo los conductores adecuados del dispositivo.
Cambiando
la posición de la puerta de visión, los objetos pueden desplegarse en
diferentes posiciones en un dispositivo de salida. Asimismo, variando el tamaño
de las puertas de visión, el tamaño y las proporciones de los objetos pueden
alterarse. Cuando se trazan en forma sucesiva ventanas de diferentes tamaños en
una puerta de visión, pueden lograrse efectos de acercamiento. Conforme las
ventanas se hacen pequeñas, un usuario puede lograr el acercamiento de alguna
parte de una escena para visualizar detalles que no se muestran con las
ventanas mayores.
Analógicamente,
puede obtener un panorama general más amplio realizando un acercamiento de una
sección de escena con ventanas cada vez más mayores. Los efectos de toma
panorámica se producen moviendo o desplazando una ventana de tamaño fijo a
través de una imagen grande.
Esta ciencia tan maravillosa llamada graficación, tiene innumerables herramientas para hacer grandes y perfectas creaciones, es tan basta la lista de conceptos que se manejan, que todo eso lo hace sumamente interesante. Las líneas y los polígonos son figuras básica, no solo en la graficación sino también en la mayoría de ciencias existentes, cada una de ellas tienen características que si las conocemos las podemos aprovechar al máximo. Por otro lado la rotación y la traslación son importantes porque nos permiten manipular a las dos primeras: a las líneas y a los polígonos. En conjunto nos permiten realizar buenas obras, presentaciones, trabajos, y un sinfín de trabajos.
Por
otro lado con la representación matricial hacemos uso de la graficación y de
las matemáticas, aquí se puede observar como las dos ciencias van de la mano,
pareciera que es complicado, pero no es así, conociendo como es su
funcionamiento también podemos aplicarla a nuestros proyectos de graficación.
Figuras,
puntos, líneas, rotaciones, son la base de grandes trabajos de la historia,
como lo es “La Gioconda”, “La ultima cena”, “Los girasoles”, entre muchos
otros, creados por personajes que supieron aprovechar las técnicas y
herramientas, que en ese entonces tal vez no se conocían con esos nombres, y
mucho menos pensar en que usaran software o algoritmos computacionales. Todo
eso fue pensado y creado por hombres amantes de la “graficación”.
Con
el paso de los años se han implementado muchos conocimientos para la ciencia,
importantes en todos los sectores, educacional, cultural, económico, deportivo,
social, etc.
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